Tứ giác nội tiếp là gì? tính chất và chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn?

Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn? hướng dẫn cách chứng minh tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp là kiến thức căn bản và quan trọng trong hình học. Vậy Tứ giác nội tiếp là gì? Tính chất tứ giác nội tiếp đường tròn? hướng dẫn cách chứng minh tứ giác nội tiếp Hãy cùng Công Decor tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây nhé!

Tứ giác nội tiếp là gì?

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn.

Đường tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và đường tròn (O) ngoại tiếp tứ giác ABCD.

Tính chất của tứ giác nội tiếp

• Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 độ
• Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

  

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp

Có 4 dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp đường tròn, cụ thể như sau:

• Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ
• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện
• Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (mà ta có thể xác định được). Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a

Chú ý: Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông nội tiếp đường tròn.

Dạng toán: Chứng minh tứ giác nội tiếp

Ta có thể sử dụng các cách sau để chứng minh tứ giác nội tiếp:

Cách 1: Chứng minh tứ giác đó có tổng hai góc đối diện bằng 180 độ

Cách 2: Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối với đỉnh đó

Cách 3: Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc a

Cách 4: Khoảng cách từ một điểm đến 4 đỉnh của tứ giác bằng nhau

Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC có đường cao BK và CH cắt nhau tại điểm I. Chứng minh tứ giác AKIH và BHKC là tứ giác nội tiếp đường tròn.

Đáp án

Xét tứ giác AHIK có:

Góc AHI + Góc AKI =  90° + 90° = 180°

Mà góc AHI và AKI là hai góc ở vị trí đối diện

=> Tứ giác AHIK nội tiếp (điều cần chứng minh)

Xét tứ giác BHKC có:

Góc BHC và  Góc BKC là hai góc kề nhau, bằng nhau = 90° và cùng nhìn cạnh BC

=> Tứ giác BHKC nội tiếp (điều cần chứng minh)

Bài 2:  Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) có góc C = góc D = 60°, CD = 2AD. Chứng minh: bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

Đáp án

Hình thang ABCD có góc C = góc D = 60° => hình thang ABCD là hình thang cân

=> AD = BC (1)

Gọi I là trung điểm của CD  => ID = IC = ½ CD mà CD = 2AD (2)

Từ (1) và (2)=> ID = IC = AD = BC

Xét tam giác AID có: ID = AD mà góc D = 60° => Tam giác AID đều

=> AI = ID (*)

Xét tam giác IBC có: BC = IC mà góc C = 60° => Tam giác BIC đều

=> IB = IC (**)

Từ (*) và (**) => IA = ID = IB = IC hay bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

Bài 3: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D#B). Chứng minh: AMCO và AMDE là các tứ giác nội tiếp đường tròn

Đáp án

a> Vì MA và MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) => góc OAM = góc OCM = 90°

Xét tứ giác MAOC có:

Góc OAM = góc OCM = 90° mà hai góc này ở vị trí đối nhau

=> Tứ giác MAOC là tứ giác nội tiếp

b> Xét đường tròn (O) có góc ABD là góc nội tiếp chắn nửa đường trong => góc ADB = 90° hay góc ADM = 90° (1)

Có MA = MC (tính chất của tiếp tuyến) và OA = OC = R => OM là trung trực của AC => góc AEM = 90° (2)

Từ (1) và (2) => góc ADM = góc AEM = 90°

Xét tứ giác AMDE có góc ADM  và góc AEM kề nhau, bằng nhau = 90° và cùng nhìn cung AM

=> Tứ giác AMDE nội tiếp

Trên đây là bài viết về Tứ giác nội tiếp của Công Decor gửi đến bạn đọc. Hy vọng đã mang đến cho bạn thật nhiều kiến thức bổ ích. Hãy theo dõi website Công Decor để có thêm nhiều bài viết hữu ích nữa nhé

Chu Trang

Tôi là Chu Thị Trang tôi là một nhà sáng tạo nội dung chuyên nghiệp. Tôi có 6 năm làm cộng tác viên cho các tờ báo online nổi tiếng như dân trí, vn express, kênh 14…. Tôi chuyên viết về những vấn đề kinh tế xã hội, đời sống, trang trí nhà cửa.