Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán vận dụng

Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng các bài toán vận dụng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P)

Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau (đường thẳng a và b cắt nhau) cùng  nằm trong mặt phẳng (P) thì d vuông góc với (P).

Hệ quả: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng d cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.

Tính chất

Có duy nhất một mặt phẳng (P) đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

Mặt phẳng (P) vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại

Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì hai đường thẳng đó song song với nhau

Đường thẳng d vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.

Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì hai mặt phẳng đó song song với nhau

Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P). Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng (P) thì cũng vuông góc với đường thẳng d

Nếu đường thẳng d và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau

Các cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng d ⊥ ((α) .  ta có thể dùng môt trong hai cách sau.

Cách 1: Chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α) .

Cách 2: Chứng minh d vuông góc với đường thẳng a mà a vuông góc với (α) .

Cách 3: Chứng minh d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

– Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bởi một trong các cách sau:

+ Chứng minh d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

+ Sử dụng định lí ba đường vuông góc.

+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) và ΔABC vuông ở B, AH là đường cao của ΔSAB. Khẳng định nào sau đây sai?

A. SA ⊥ BC.

B. AH ⊥ BC.

C. AH ⊥ AC.

D. AH ⊥ SC.

Chọn C

Hướng dẫn

Do SA⊥(ABC) nên câu A đúng.

Do BC⊥(SAB) nên câu B và D đúng.

Vậy câu C sai.

Bài 2:  Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC)

1. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất. Chứng minh BC ⊥ (SAB).
2. BC ⊥ (SAB)
3. BC ⊥ (SAC)
4. (AD,BC)=450
5. (AD,BC)=800

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SB = SD = AB

1. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn BD
2. Chứng minh tam giác ASC vuông tại S.

Do ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD (1).

Gọi O là tâm hình thoi ABCD thì OB = OD. Theo bài ra: SB = SD.

Tam giác ABD cân nên SO ⊥ BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: BD ⊥ mặt phẳng (SAC) tại O, nên mặt phẳng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD.

Từ giả thiết, ta có: SB = SD = AB = AD = CB = CD

Cạnh BD chung nên Tam giác ABD = Tam giác SBD =  Tam giác CBD (c.c.c)

Suy ra: OA = OS = OC

Vậy, tam giác SAC vuông tại S

Bài 4: Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm O của cạnh BC. Chứng minh rằng: CD ⊥ CA, CD ⊥ (SAC)

Ta có: SA ⊥ (ABC)

SA ⊥ DC thuộc mặt phẳng (ABC)

Vì AC và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn nên tứ giác ABCD là hình bình hành và ta có AB  song song với DC. Vì AB ⊥ AC nên CD ⊥ CA. Mặt khác, ta có CD ⊥ SA, do đó CD ⊥ (SAC)

Chu Trang

Tôi là Chu Thị Trang tôi là một nhà sáng tạo nội dung chuyên nghiệp. Tôi có 6 năm làm cộng tác viên cho các tờ báo online nổi tiếng như dân trí, vn express, kênh 14…. Tôi chuyên viết về những vấn đề kinh tế xã hội, đời sống, trang trí nhà cửa.