Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là gì? Công bội là gì? Các dạng bài liên quan đến cấp số nhân. Hãy cùng Công Decor tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé!

Cấp số nhân là gì? Công bội là gì?

Cấp số nhân là một dãy số hữu hạn hoặc vô hạn.  Trong đó, mọi số hạng trừ số hạng đầu tiên đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi. Số không đổi đó được gọi là công bội.

Dãy số { Un} là cấp số nhân khi và chỉ khi

U n+1 = Un . q với n thuộc N*

+ q > 1 => Cấp số nhân là dãy số tăng

+ q = 1 => Cấp số nhân là dãy số không đổi

+ 0 < q < 1 => Cấp số nhân là dãy số giảm

+ q = 0 => Cấp số nhân có dạng U1, 0, 0…

+ q < 0 => Cấp số nhân là dãy không tăng, không giảm

Ví dụ: Chứng minh rằng, dãy số hữu hạn dưới đây là một cấp số nhân:

-2, 1, -½, ¼, -⅛

Hướng dẫn giải:

Ta có:

1 = (-2). (-½)

-½ = 1 .(-½)

¼ = (-½). (-½)

-⅛ = ¼ . (-½)

Vậy dãy số cho ở đề bài là cấp số nhân, q = (-½) < 0

=> Dãy số này là dãy số không tăng, không tăng.

Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân (Un) có số hạng đầu U1 và công bội q thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức:

Ví dụ:  Cho cấp số nhân Un với U1 = 3, q = -½

a. Tính U2020

b. Hỏi -3/512 là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2: Tế bào E coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20p lại phân đôi một lần.

a. Hỏi một tế bào sau 10 lần phân chia sẽ thành bao nhiêu tế bào?

b. Nếu có 10^5 tế bào sau 2 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?

Hướng dẫn giải

Ta có công bội là: q=2

Sau lần phân bào đầu tiên: U1 = 2 tế bào

Sau 10 lần thì sẽ có:

U10 = U1 . q^9 = 2 . 2^9 = 1024 tế bào

Ta có: 2 giờ = 120 phút => 6 lần phân bào

Sau 1 lần phân bào sẽ có:

U1 = 2. 10^5 tế bào

Sau 6 lần phân bào sẽ có:

U6 = u1. q^5 = 2. 10^5 . 2^5

= 2^6 . 10^5 tế bào

Vậy nếu có 10^5 tế bào sau 2 giờ sẽ phân chia thành 2^6 . 10^5  tế bào

Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Trong cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó.

Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Các dạng bài tập của cấp số nhân

Dạng 1: Nhận biết Cấp số nhân

Bước 1: Tính q=un+1un,∀n≥1

Bước 2: Kết luận:

+ Nếu q là số không đổi thì dãy (un) là cấp số nhân

+ Nếu q thay đổi theo n thì dãy (un) không là cấp số nhân

Dạng 2: Tìm công bội của cấp số nhân

Sử dụng các tính chất của cấp số nhân, biến đổi để tính công bội của cấp số nhân

Dạng 3: Tìm số hạng của cấp số nhân

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2

Dạng 4: Tính tổng cấp số nhân của n số hạng đầu tiên trong dãy

Để tính tổng của cấp số nhân với n số hạng đầu tiên trong dãy số, ta sử dụng công thức:

Sn=u1+u2+…+un=u1(1–qn)1–q

Dạng 5: Tìm cấp số nhân

+ Tìm các yếu tố xác định một CSN như: số hạng đầu u1, công bội q.

+ Tìm công thức cho số hạng tổng quát un=u1.qn–1,n≥2.

Bài tập 1. Cho cấp số nhân ( un ), biết công bội q = 3 và số hạng đầu tiên u1 = 8. Hãy tìm số hạng thứ 2

A. 24

B. 16

C. 32

D. 40

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: un+1=un.q

q = 3

Số hạng thứ 2 là: n + 1 = 2 => n = 1

u1 = 8

Thay u1 = 8 vào ta có:  u1+1=u1.q⇒u2=8.3=24

Chọn đáp án A.

Bài tập 2. Cho cấp số nhân ( un ), biết số hạng đầu tiên u1 = 8 và số hạng kế tiếp u2 = 24. Hãy tìm công bội của dãy số này

A. 6

B. 5

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tổng quát: un+1=un.q

Theo đề bài, ta có: u1 = 8, u2 = 24

Thay số vào: u2=u1.q⇒24=8.q⇒q=248=3

Chọn đáp án D

Bài tập 3. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng số hạng đầu tiên u1 = 3, công bội là 2. Hãy tìm số hạng thứ 5

A. 96

B. 48

C. 24

D.12

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: un=u1.qn–1

u1 = 3

q = 2

n = 5

Thay số vào:  u5=3.25–1=48

Chọn đáp án B.

Bài tập 4. Cho cấp số nhân ( un ), biết công bội q = – 3 và số hạng đầu tiên u1 = 4. Hãy tỉnh tổng của 6 số hạng đầu tiên

A. 244

B. 82

C. 122

D. 730

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu tiên: Sn=u11–qn1–q

q = – 3

u1 = 4

Thay số vào: S6=u11–q61–q=5.1–(–2)61–(–2)=730

Chọn đáp án D.

Bài tập 5. Cho cấp số nhân ( un ), biết rằng u1 = – 0,5 và số hạng thứ 7 là u7 = – 32. Hãy tìm công bội

A. q = 2

B. q = – 2

C. q = ± 2

D. q = 3

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức số hạng bất kì: un=u1.qn–1

n = 7

u1 = – 0,5

u7 = – 32

Thay số vào: –32=(–0,5).q7–1⇒q=±2

Chọn đáp án C.

Bài tập 6. Biết rằng một cấp số nhân ( un ) có số hạng đầu u1 = 8, công bội q = 2 và số hạng thứ n là un = 256. Hỏi n bằng bao nhiêu

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân: un=u1.qn–1

u1 = 8

q = 2

un = 256

Thay số vào: 256=8.qn–1⇒qn–1=32⇒qn–1=25

=> n – 1 = 5=> n = 6

Chọn đáp án C

Câu hỏi ôn tập

Câu 1. Cho dãy số: -1; 1; -1; 1; -1; …Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Dãy số này không phải là cấp số nhân

B. Số hạng tổng quát Un = 1^n = 1

C. Dãy số này là cấp số nhân có u1 = -1, q = -1

D. Số hạng tổng quát un = (-1)^2n

Câu 2. Cho cấp số nhân Un với U1 = 3, q = -1/2. Số 222 là số hạng thứ mấy của Un?

A. Số hạng thứ 11

B. Số hạng thứ 12

C. Số hạng thứ 9

D. Không là số hạng cua cấp số đã cho

Câu 3. Dãy số Un có phải là cấp số nhân không? Nếu phải hãy xác định số công bội? Biết Un = 2n?

A. q = 3

B. q = 2

C. q = 4

D. q thuộc tập rỗng

Câu 4. Xét xem dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội: Un = 2^n

A. q = 3

B. q = 2

C. q = 4

D. q thuộc tập rỗng

Câu 5.  Mệnh đề nào dưới dây là sai?

A. Dãy số 1; -2; 4; -8; 16; -32; 64 là một cấp số nhân

B. Dãy số 7; 0;0;0… là một cấp số nhân

C. Dãy số (Un): Un = n . 6^(n+1) là một cấp số nhân

D. Dãy số (Vn): (Vn) = (-1) . 3^2n là một cấp số nhân

Câu 6. Cho cấp số nhân (Un) với u1 = 3, q = -2. Số 192 là số hạng thứ mấy của (Un)?

A. số hạng thứ 5

B. số hạng thứ 6

C. số hạng thứ 7

D. Không là số hạng của cấp số đã cho

Câu 7.  Cho cấp số nhân (Un) với U1 = -1; q = -1/10. Số là số hạng thứ mấy của (Un)?

A. Số hạng thứ 103

B. Số hạng thứ 104

C. Số hạng thứ 105

D. không là số hạng của cấp số đã cho

Câu 8. Xét xem dãy số sau đây có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội: Un = 3n -1

A. q = 3

B. q = 2

C. q = 4

D. q thuộc tập rỗng

Câu 9. Cho cấp số nhân (Un) có U1 = 3 và 15U1 – 4U2 + U3 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ 13 của cấp số nhân đã cho?

A. 12288

B. 49152

C. 24567

D. 3072

Câu 10. Tìm tất cả các gái trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân bệt lập thành một cấp số nhân: x3 – 7×2 + 2(m2 + 60). -8 = 0

A. m = -7

B. m = 1

C. m = -1 hoặc m = 7

D. m = 1 hoặc m = -7

Câu 11. Một cấp số nhân có hai số hạng liên tiếp là 16 và 36. Số hạng tiếp theo là:

A. 720

B. 81

C. 64

D. 56

Câu 12. Ba số x, y và z theo thứ tự lập hành một cấp số nhân với công bội q khác 1. Đồng thời, các số x, 2y và 3z theo thứ tự lập thành một cấp số công với công sai khác 0. Tìm giá trị của q?

A. q = 1/3

B. q=1/9

C. q=-1/3

D. q=-3

Trên đây là bài viết về cấp số nhân, công bội là gì? Và các dạng toán liên quan đến cấp số nhân. Hy vọng bài viết đã mang đến cho bạn thật nhiều thông tin hữu ích. Hãy theo dõi website của Công Decor để có thêm nhiều bài viết hay nữa nhé!